카시미르 원소

리 대수 이론에서, 카시미르 원소(Casimir元素, 영어: Casimir element)는 리 대수의 보편 포락 대수의 중심의 특별한 원소이다.

정의

체 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 보편 포락 대수 $\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})$ 의 환으로서의 중심 $\operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))$ 를 생각하자. 이는 $K$ 위의 벡터 공간이다. 물론, 이는 $\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})$ 의 표준적인 자연수 등급에 의하여 등급 벡터 공간으로 분해된다.

\operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))=\bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {Z} _{i}(\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))

푸앵카레-버코프-비트 정리에 따라서, $\operatorname {Z} _{i}(\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))$ 는 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 변수의 $i$ 차 불변 다항식들의 공간과 같다.

두 불변 다항식의 곱은 물론 불변 다항식이다. 두 (양의 차수의) 불변 다항식의 곱으로 표현될 수 없는 동차 불변 다항식에 대응하는 $\operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))$ 의 원소를 ${\mathfrak {g}}$ 의 카시미르 원소라고 한다.

이차 카시미르 원소

특히, 만약 ${\mathfrak {g}}$ 가 표수 0의 체 $K$ 위의 단순 리 대수라면, 그 킬링 형식 $B$ 는 비퇴화 이차 형식이며, 그 역행렬 $B^{-1}(-,-)$ 은 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 위의 2차 불변 다항식이므로, 카시미르 원소를 이룬다. 이를 ${\mathfrak {g}}$ 의 이차 카시미르 원소(영어: quadratic Casimir element)라고 한다.

특히, 만약 $K$ 가 대수적으로 닫힌 체일 때, $B$ 에 대한 정규 직교 기저를 $x_{i}$ 라고 하면, 이차 카시미르 원소는 다음과 같다.

C=\sum _{i}x_{i}x_{i}\in \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})

성질

하리시찬드라 동형

만약 ${\mathfrak {g}}$ 가 (대수적으로 닫힌 체일 필요가 없는) 표수 0의 체 위의 가약 리 대수일 경우, 하리시찬드라 동형(영어: Harish-Chandra isomorphism)에 의하여, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

\operatorname {Z} (\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}))\to \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})^{\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}

여기서 우변은 ${\mathfrak {g}}$ 로 생성되는 대칭 대수의 원소 가운데, 바일 군 $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$ 의 작용에 대하여 불변인 것들의 부분 공간이다.

라플라스-벨트라미 연산자

리 군 $G$ 의 리 대수가 반단순 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 위에서 킬링 형식 $B$ 는 준 리만 계량을 정의하며, 2차 카시미르 불변량은 이 준 리만 다양체 $(G,B)$ 의 라플라스-벨트라미 연산자 $\Delta _{B}$ 와 같다.

예

표수 0의 체 $K$ 위의 (양의 정부호) 3차원 직교 리 대수 ${\mathfrak {so}}(3;K)$ 를 생각하자. 그 기저는 다음과 같이 잡을 수 있다.

L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

그렇다면, 이차 카시미르 원소

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=-2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

을 정의할 수 있다. 이는 대각 행렬이므로, 보편 포락 대수의 중심에 속함을 알 수 있다.

양자역학에서, $L_{i}$ 는 세 직교 방향에 대한 각운동량에 해당하며, 이차 카시미르 원소 $L^{2}$ 는 각운동량의 크기의 절댓값의 제곱의 기댓값이다. (이는 물론 각운동량의 크기의 절댓값의 기댓값의 제곱과 다르다.) 총 각운동량 양자수의 스칼라 값을 $\ell$ 이라고 할 때, 이는 $\ell (\ell +1)$ 에 해당한다. 여기서 사용한 3차원 정의(定義) 표현은 스핀 $\ell =1$ 에 해당하므로, $L^{2}=2$ 가 된다.